Đại số vui: số e kỳ diệu

Bạn có biết số e? Con số bí hiểm được lấy làm cơ số của hàm logarithm tự nhiên? Con số vô tỷ có thể được tính qua tổng $e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! +\dots$ ?

Tại sao lại gọi là e? Bởi vì nó là chữ cái đầu của từ exponential, của hàm luỹ thữa có tên gọi đó: $\exp(1) = e$ , $\exp(n) = e^n$ . Nó là hàm duy nhất có tính chất: đạo hàm của nó bằng chính nó (!) và giá trị tại 0 bằng 1. Thế nên, những thứ mà có tốc độ tăng trưởng tỷ lệ thuận với độ lớn (ví dụ như tiền gửi tiết kiệm, hay sự bùng nổ của dân số) thì biểu diễn qua hàm luỹ thừa là tiện lợi nhất, và do đó dùng đến số e. Số e còn gắn với tên tuổi của nhà toán học Euler, với một công thức “không thể đẹp hơn” chứa cả 5 hằng số quan trọng nhất của toán học là 0,1, e, i và $\pi$ :

$e^{i\pi} + 1 = 0$

Trong sách “Đại Số Vui” của Perelman (sắp có trong tủ sách Sputnik, các bạn đón đọc!) còn có một sự xuất hiện khác rất thú vị của số e, trong bài toán sau:

Cho một số dương $A$ cho trước. Cần tách $A$ thành tổng của một số số dương

$A=A_1+A_2+\dots+ A_n$

sao cho tích $A_1\times A_2\times\dots\times A_n$ là lớn nhất. Hỏi $n$ bằng bao nhiêu ?

Trong trường hợp mà tất cả các số $A, A_1,\dots, A_n$ đều phải là số tự nhiên, thì lời giải sẽ là: các số $A_1,\dots, A_n$ đều phải bằng 3 hoặc 2 (trừ khi $A=1$ ), thế nên $n$ bằng số tự nhiên đầu tiên lớn hơn hoặc bằng $A/3$ . Ví dụ:

A= 2: n=1, A1 = 2

A= 3: n=1, A1= 3

A=4: n=2, A1=A2=2 (có thể tách vậy, hoặc để yên cũng được)

A=5: n=2, A1=2, A2=3 (2*3 = 6 > 5)

A=6: n=2, A1=A2=3 (3*3=9 > 2*2*2 > 6)

v.v.

Thế còn nếu các số Ai không cần phải là số nguyên thì sao? Khi đó đáp số sẽ là n là số sao cho A/n gần bằng số e nhất, và A1=A2=… =An gần bằng e nhất!

Chuyện A1=A2=…=An thì tốt nhất cho tích, chắc các bạn cũng biết rồi, qua bất đẳng thức Cauchy. Thế còn tại sao chúng gần bằng e nhất thì tốt nhất?! Bạn thử nghĩ xem?