Lý thuyết Galois là cái gì vậy?

Nguyễn Tiến Dũng

Nhân bài của TS Lê Quang Ánh về tiểu sử Galois, xin giới thiệu với các bạn một chút về lý thuyết Galois.

Lý thuyết Galois còn gọi là lý thuyết mở rộng đại số của các trường (algebraic extensions of fields). Đại ý của nó như sau:

Trường (tiếng Pháp: corps, tiếng Anh: field) là một khái niệm mở rộng của tập hợp $\mathbb{Q}$ các số hữu tỉ: trên một trường ta có thể làm bốn phép tính số học cộng, trừ nhân chia. Nếu ta lấy một đa thức $P(x)$ với các hệ số nằm trong một trường $K$ nào đó (ví dụ như trường
$\mathbb{Q}$ các số hưu tỉ), thì nói chung các nghiệm của phương trình $P(x) = 0$ không nằm trong $K$ , mà phải nằm trong một trường $L$ khác nào đó lớn hơn $K$ . Trường $L$ nhỏ nhất mà chứa $K$ và chứa tất cả các nghiệm của phương trình $P(x) = 0$ được gọi là mở rộng đại số của $K$ theo đa thức $P$ .

Ví dụ, ta có thể mở rộng trường $\mathbb{Q}$ bằng cách cho vào đó thêm các nghiệm của phương trình $x^2 - 2 = 0$ . Trường nhận được là $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ gồm các số có dạng $a + b\sqrt{2}$ với $a,b \in \mathbb{Q}$ . (Có thể kiểm tra dễ dàng rằng cộng trừ nhân chia các số có dạng như vậy thì vẫn ra các số có dạng như vậy). Mở rộng trường từ $\mathbb{R}$ (trường số thực) lên $\mathbb{C}$ (trường số phức) cũng chính là một mở rộng đại số, ứng với phương trình $x^2 + 1 = 0$ .

Với mỗi một mở rộng đại số của trường từ $K$ thành $L$ như trên có một nhóm tương ứng, gọi là nhóm Galois, ký hiệu là $Gal(L/K)$ : nhóm này bao gồm các tự đẳng cấu $f: L \to L$ (các song ánh từ $L$ vào chính nó bảo toàn bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia) sao cho khi giới hạn trên $K$ thì $f$ là ánh xạ đồng nhất. Ví dụ, đối với mở rộng từ $\mathbb{Q}$ lên $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ thì nhóm Galois gồm có hai phần tử: một phần tử là ánh xạ đồng nhất, còn phần tử kia là ánh xạ biến $a + b\sqrt{2}$ thành $a - b\sqrt{2}$ .

Khi ta có một mở rộng đại số từ $K$ lên $L$ , thì có một tương ứng 1-1, gọi là tương ứng Galois, giữa các nhóm con của nhóm Galois $Gal(L/K)$ với các trường con của $L$ mà chứa $K$ . Sử dụng tương ứng Galois này, Galois đã chỉ ra rằng, khẳng định “các nghiệm của phương trình $P(x) = 0$ viết được dưới dạng biểu thức chỉ chứa các hệ số của $P(x)$ và các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và khai căn” tương đương với khẳng định “nhóm Galois $Gal(L/K)$ là một nhóm giải được”. (Một nhóm hữu hạn $G$ gọi là nhóm giải được nếu nó “giải ra được” thành các nhóm giao hoán, hay còn gọi là nhóm Abel. Nói chính xác hơn, tồn tại một dãy các nhóm con $\{0\} = G_0 \subset G_1 \subset \hdots \subset G_{n-1} \subset G_n = G$ sao cho với mỗi $i$ thì $G_i$ là mở rộng của $G_{i-1}$ bởi một nhóm Abel $H_i$ nào đó: $G_i/G_{i-1} \cong H_i$ ).

Khi $P(x)$ là một đa thức bậc $n$ tổng quát thì nhóm Galois tương ứng của nó là nhóm $S(n)$ các hoán vị của tập $n$ phần tử. (Hình dung là phương trình có $n$ nghiệm và các nghiệm đó có thể hoán vị cho nhau tùy ý). Khi $n \leq 4$ thì nhóm $S(n)$ là nhóm giải được, còn khi $n \geq 5$ thì nhóm $S(n)$ là nhóm không giải được. Từ đó ta rút ra câu trả sau cho một vấn đề đã làm đau đầu các nhà toán học trong nhiều thế kỷ:

Khi $n \leq 4$ thì phương trình đại số bậc $n$ tổng quát giải được bằng căn thức (các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và khai căn).
Khi $n \geq 5$ thì phương trình đại số bậc $n$ tổng quát không giải được như vậy.

Công thức tính cụ thể cho phương trình bậc $n=2$ là một công thức quen thuộc được học ở chương trình toán phổ thông ngày nay. Công thức cho $n=3$ được gọi là công thức Cardano, tuy thực ra Gerolamo Cardano (1501–1576) chỉ có công chép lại và công bố nó trong một quyển sách nhan đề Ars Magna (Nghệ thuật Lớn) vào năm 1545, còn những người đầu tiên nghĩ ra nó là Scipione del Ferro (1465–1526) và Niccolò Tartaglia (1500–1557). (Xem: https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function). Công thức cho $n=4$ được một học trò của Cardano là Lodovico Ferrari tìm ra vào năm 1540 (xem: https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function), dựa trên công thức cho $n=3$ , và cũng được viết lại trong
sách Ars Magna của Cardano.

Khẳng định không tồn tại cách viết nghiệm cho phương trình bậc $n\geq 5$ tổng quát dưới dạng căn thức đã được Paolo Ruffini chứng minh gần đầy đủ từ năm 1799 và được Niels Abel chứng minh chặt chẽ trong giai đoạn 1824-1828, và ngày nay gọi là Định lý Abel-Ruffini (xem: https://en.wikipedia.org/wiki/Abel-Ruffini_theorem).

Cần nói rằng Galois không phải là người đầu tiên nghĩ ra ý tưởng dùng lý thuyết nhóm trong phương trình đại số. Từ năm 1770 (trước công trình của Galois hơn 60 năm), nhà toán học Joseph Louis Lagrange đã viết về các mẹo liên quan đến nhóm hoán vị trong việc giải phương trình đại số, và tất nhiên trong công trình của Ruffini và Abel đã phảng phất lý thuyết nhóm. Tuy nhiên, lý thuyết của Galois đã làm cho vấn đề trở nên sáng sủa hơn hẳn. Hơn thế nữa, lý thuyết Galois còn áp dụng được vào nhiều vấn đề hóc búa khác của toán học, và tiếp tục được phát triển để trở thành một phần không thể thiếu của toán học hiện đại. Đơn cử hai ví dụ:

Vào năm 1963 nhà toán Vladimir Arnold (1937-2010) người Nga tìm ra một cách chứng minh bằng tô-pô cho định lý Abel-Ruffini, mở ra một hướng nghiên cứu mới: lý thuyết Galois tô-pô.

Lý thuyết Galois xuất hiện không chỉ trong các phương trình đại số, mà con trong cả các phương trình vi phân. Lý thuyết Galois vi phân (mở rộng các trường vi phân, tức là các trường trên đó có phép lấy đạo hàm) được các nhà toán học Emile Picard và Ernest Vessiot khởi xứng từ những năm 1883-1904, và còn được biết đến dưới tên gọi Lý thuyết Picard-Vessiot.

Tương tự như đối với các phương trình đại số, tính giải được của các phương trình vi phân, theo nghĩa thích hợp nào đó, liên quan đến tính giải được của các \textit{nhóm Galois vi phân} tương ứng. Một chuyên gia hàng đầu ngày nay trong lĩnh vực này là giáo sư Jean-Pierre Ramis ở Đại học Toulouse, Viện sĩ Hàn lâm của Pháp. Một định lý nổi tiếng của Ramis và các cộng sự nói rằng nếu một hệ động lực Hamilton là khả tích (theo nghĩa của Liouville) thì các nhóm Galois vi phân của nó phải là “essentially Abelian”. Người viết bài này cũng có một kết quả liên quan, mở rộng định lý của Ramis lên trường hợp các hệ động lực không-Hamilton.