Nguyễn Tiến Dũng

Có giáo viên THPT hỏi tôi về chuyện làm sao giới thiệu cho các học sinh về ứng dụng của số phức? Số phức thì có ứng dụng gì?

Đây là một câu hỏi rất chính đáng. Bởi kho thời gian của chúng ta có hạn, chúng ta phải ưu tiên học những thứ cần thiết, có nhiều lợi ích. Nhưng trong sách giáo khoa hiện tại không nói đến lợi ích của số phức. Bản thân giáo viên cũng không biết số phức dùng làm gì, thì làm sao học sinh thấy nó có ý nghĩa được. Hệ quả tất yếu là nhiều người lên tiếng đòi bỏ số phức ra khỏi chương trình học phỏ thông.

Vậy số phức dùng để làm gì? Nó liên quan gì đến thế giới tự nhiên và cuộc sống của ta?

Nếu như nói “âm ba con gà” hay “hai phần năm con gà” còn có nghĩa (tuy rằng hình dung “con gà âm” thật khó, nhưng có thể coi “gà âm” là “gà vay nợ” hay “gà hao hụt”), thì nói “3i con gà” hẳn là vô nghĩa. Số ảo i không dùng để đo độ lớn của các đại lượng được. Thế thì nó đo cái gì, nó xuất hiện ở đâu? Trong tự nhiên có cái gì mà bình phương lên lại bằng -1 không?

Câu trả lời là có: phép quay 90 độ có bình phương bằng -1!

Quay hai lần 90 độ thì bằng quay 180 độ, mà quay 180 độ có nghĩa là lấy điểm ngược lại, cũng có nghĩa là nhân với -1. Vậy ta có thể nói rằng số ảo i đại diện cho sự quay, sự chuyển hướng 90 độ (quang điểm hay trục nào đó) trong tự nhiên! Còn số phức nói chung thì là một phép tổng hợp vừa quay vừa co giãn (phép biến đổi bảo toàn góc).

Chính vì “i chẳng qua là quay 90 độ” nên số phức rất hiệu nghiệm trong hình học phẳng và trong lượng giác. Nhiều vấn đề của hình học phẳng rất phức tạp, hay nhiều công thức lượng giác phức tạp,  trở nên “ngon ăn” hơn hẳn khi sử dụng số phức để giải quyết. Sách dạy về số phức nên đưa các ứng dụng hình học và lượng giác này làm ví dụ minh hoạ.

Ngoài hình học phẳng, có thể kể ra vô số các vấn đề khác trong toán (ở mức độ cao hơn), mà nếu không có số phức thì cũng “chưa chết hẳn”, nhưng có số phức thì trở nên đẹp đẽ dễ dàng hơn nhiều, ví dụ như:

• Phân tích đa thức ra thừa số (nhơ có tính chất đóng của trường số phức nên phân tích được dễ dàng)
• Tính toán các tích phân

• Tìm dạng chuẩn và phân loại các cấu trúc toán học, v.v.

Nói theo nhà toán học Jacques Hadamard thì “đường đi ngắn nhất từ thực đến thực là qua phức”. (Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe). Trong toán học, hiện tượng rất hay gặp là để phân loại những cái gì đó trên trường số thực, người ta phức hoá nó, phân loại trên trường số phức trước cho đơn giản, rồi sau đó mới quay lại trường số thực.

Trong vật lý ngày nay, số phức xuất hiện rất nhiều. Bời vì vật lý liên quan đến hình học, có nhiều đại lượng không chỉ có độ lớn mà còn có hướng. Mà đã nói đến hướng là dễ đụng đến số phức, vì số ảo thể hiện sự quay 90 độ. Ví dụ như để mô tả điện xoay chiều (là thứ điện ta dùng chủ yếu ngày nay) hay một số thứ trong mạng điện nói chung, người ta có thể dùng số phức.

Đặc biệt là trong vật lý lượng tử, ngay khái niệm “sóng” để mô tả vật chất và phương trình Shroedinger mô tả biến đổi của sóng đó theo thời gian đã viết bằng số phức. Không ai có thể hình dung  nổi vật lý hiện đại mà thiếu số phức. Điều đó không có nghĩa là thế giới của chúng ta là thế giới phức, mà chẳng qua là trong đó có nhiều cái nó quay, mà đã quay thì biểu diễn bằng số phức nhiều khi tiện hơn hẳn là bằng số thực!