(Một bài toán do thầy Trần Nam Dũng đề xuất)

2 người A (đi trước) và B (đi sau) chơi trò rót bia như sau: có 3 cái cốc dung tích 1 lít, trong mỗi cốc đựng a lít bia (0 < a < 1). Đến lượt ai đi thì chọn 1 trong 3 cái cốc và đổ bớt bia từ cốc đó sang 2 cốc còn lại với tỷ lệ tuỳ ý, nhưng không được làm rớt ra ngoài trừ khi cốc đầy tràn. A thắng nếu như làm được cho 1 cốc đầy tràn bia ở một lượt nào đó, còn không thì thua.

Hỏi A có chiến thuật chắc thắng không nếu:
1) a = 1/2;
2) b = 0,4;
3) a là số tuỳ ý nào đó giữa 0 và 1.

A thắng nếu như khi đến lượt A đi ta có tổng của hai số lớn nhất trong 3 số x,y,z lớn hơn 1. Còn nếu B luôn làm được sao cho tổng đó nhỏ hơn 1 sau mỗi lần B đi thì B thắng A thua.

Giả sử đến lượt B đi ta có các số x(k), y(k), z(k), sau khi B đi thì thành x(k+1), y(k+1), z(k+1). Hỏi là với các số x(k), y(k), z(k) thì B sẽ thua ngay sau lượt đi đó (tức là trong 3 số x(k+1), y(k+1), z(k+1) kiểu gì cũng sẽ có hai số mà tổng lớn hơn 1) ?

Cách đơn giản nhất để hình dung vấn đề này có lẽ là vẽ hình:

– Hình H1 = tam giác tất cả các tình huống (x,y,z) không âm và có tổng bằng 3a. (chấp nhận cả các số x,y,z lớn hơn 1: lớn hơn 1 coi như là trào ra)

– Bên trong đó là hình H2 = các tình huống (x,y,z) không âm và có tổng bằng 3a, sao cho tổng hai số bất kỳ không vượt quá 1. Nếu a > 1/2 thì hình đó rỗng, và A thắng luôn. Nếu a < 1/2 thì hình đó là một tam giác bên trong tam giác ban đầu. Khi a=1/2 thì nó là một điểm.

– Rồi đến hình H3 = hình các tình huống (x,y,z) sao cho có thể đưa về một tình huống trong H2 sau 1 phép đi. (Ở đây giả sử a <= 1/2 nếu không A đã thắng ngay).

v.v.

Từ đó suy ra là nếu a > 4/9 thì A thắng, a <= 4/9 thì B thắng